Optimized RBF Neural Networks Predicts Coagulation in Waterworks

Jing-yi TUO; Bing-feng XU; Yue XÜ; Lan YU; Xue-ying WANG; Lu-yao GUO

China Rural Water and Hydropower ›› 2021 ›› (8) : 212-215,220.

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Abstract

The amount of coagulation in the process of water purification in water plants is influenced by multiple water ingress factors， and the law of change presents a highly nonlinear pattern difficult to control. Based on the RBF optimized by PSO， a dynamic model of nonlinear high-dimensional mapping water plant with error reverse propagation is established. Compared with the single RBF model， the average relative error is reduced by 3.05%， the maximum relative error is reduced by 0.198 6， and has a faster iterative convergence speed，and also has good adaptability to the water plant of different processes.

Key words

coagulant dosage / RBF neural network / particle swarm optimization / waterworks

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Jing-yi TUO , Bing-feng XU , Yue XÜ , Lan YU , Xue-ying WANG , Lu-yao GUO. Optimized RBF Neural Networks Predicts Coagulation in Waterworks. China Rural Water and Hydropower. 2021, 0(8): 212-215,220

混凝投药是自来水厂运行的关键，投加量直接决定着水厂的出水水质和经济效应。在保证出厂水水质达标的情况下，实现投药量的最佳控制，是净水行业现阶段的重点^［1］。张瑶瑶、刘泽华^［2，3］研究发现因原水浊度对投药量的影响大，采用回归方程模型分析水厂投药量时，须将样本分为高浊与低浊两个方程分别计算，其计算方式冗杂，对数据要求高。李培军、唐德翠^［4，5］等人采用机理模型模拟投药工艺，模型只是在一定的特殊条件下建立的，需要对自来水厂投药混凝的各影响因子都进行解析计算，其准确度不是很高。王晓杰、李拓^［6，7］等人采用BP神经网络预测混凝投药量，网络本身收敛速度慢，网络规模小，精度难以提高。研究结果如表1。

表1 自来水厂常用模拟算法精度对比

模型	类别	MRE（平均相对误差）	RE _max（最大相对误差）	RE _min（最小相对误差）	分析
回归分析	高浊^［2］	0.101 0	0.320 0	0.015 2	数据分类复杂、精度较差
回归分析	低浊^［2］	0.086 7	0.326 4	0	数据分类复杂、精度较差
机理模型	5~15 ℃^［4］	-	0.351 0	0	难以增加计算维度来进行多因素分析
机理模型	15~25 ℃^［4］	-	0.150 8	0	难以增加计算维度来进行多因素分析
单一神经网络	BP^［6］	0.098 2	0.220 5	0.000 8	迭代次数多、收敛速度慢、易陷入局部最小^［8］
单一神经网络	RBF	0.086 8	0.324 1	0.005 4	收敛速度快、拟合能力高

据表1可知，由于单一神经网络结构自身所具有的约束性，还需其他组合算法来增加模型的全局搜索能力^［9］、降低运动过程的鲁棒性、提高预测精度^{［10，11］}，从而达到模型目标期望值的目的。本文采用PSO优化RBF建立非线性的高维映射水厂投药量动态模型，以了解原水数据与投药量之间的规律，实现在不同季节、不同水厂、不同条件下对投药量的动态预测，尽早发现水质变化趋势，降低药耗。

1 PSO优化RBF神经网络模型的建立

1.1 RBF神经网络结构

RBF能将训练样本点使用核函数方法（Cover 函数）投射到更高维的空间中，可以近似任意非线性函数，精度较高，能避免陷入局部最优^{［12，13］}。

影响混凝沉淀的因素很多，根据水厂实地调研以及前人研究表明，原水指标中影响投药量的主要因素有Q（原水流量）、NTU（浊度）、原水pH、COD_Mn （耗氧量）、温度、电导率、藻类等^{［14，15］}。考虑上述影响因素对混凝投药的敏感度，本文选取Q、NTU、pH、COD_Mn 四个指标作为输入值的维度，投药量作为输出值的维度^［16］，建立网络结构（如图1）。

图1 RBF神经网络模拟水厂投药量结构

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设输入值为X_k，那么投药量输出值Y（x）为式（1）。

Y (x) = \sum_{i = 1}^{I} ω_{i} φ (X_{k}, X_{i})

（1）

式中：X_i 为基函数的中心；ω_i 为输出单元与中心的连接权值；φ（X_k，X_i）为基函数。

1.2 PSO优化RBF网络的程序

本文采用PSO优化RBF算法，建立水厂投药量模型（如图2）。

图2 创建RBF优化组合模型流程图

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PSO算法中每一个粒子的位置和速度都由适应值f（x）衡量优劣。本文将减法聚类算法所得到的中心点作为初始中心点位置，用PSO算法优化更新RBF网络中心点位置。粒子的路径与速度^［17］由式（2）、（3）决定

V_{i d}^{k + 1} = V_{i d}^{k} + c_{1} r_{1} (P_{i d}^{k} - X_{i d}^{k}) + c_{2} r_{2} (P_{g d}^{k} - X_{i d}^{k})

（2）

X_{i d}^{k + 1} = X_{i d}^{k} + V_{i d}^{k + 1}

（3）

式中：

V_{i d}^{k}

为粒子i在D维空间中第k次游走的运行速度；

X_{i d}^{k}

为粒子i在D维空间中第k次游走后的位置；

P_{i d}^{k}

为粒子i在D维空间k次运动后的个体最佳位置；

P_{g d}^{k}

为粒子在D维空间第k次运动后，粒子群体的全局最佳位置；c ₁、c ₂为加速常数，取值一般在1.5~2.0之间时，算法效果较好；r ₁和r ₂为［0，1］内的随机数。

取RBF函数E（均方误差）的倒数作为PSO算法的适应度函数f（x）。采用误差倒数E作为函数的适应值，能约束粒子群体运动轨迹，从而通过误差反向传递动态地调节RBF神经网络的输出值。

（1）减法聚类法确定节点数N。基函数中心点个数即隐藏节点数由减法聚类算法得到^［18］。数据X（x ₁ _n，x ₂ _n，x ₃ _n，x ₄ _n）归一到单位的D维空间后，按照式（4）计算每个训练样本i处的密度指标。

{δ_{k}}_{i} = \sum_{j = 1}^{n} e x p (- \frac{‖x_{i} - {x_{j}‖}^{2}}{(γ_{a} {/ 2)}^{2}}), i = 1,2, \dots, n

（4）

选取初次计算地密度指标最大处δ ₀ =max（δ_ki ）的训练样本点，作为减法聚类的第一个聚类中心，x_j 为随机初次聚类中心点。

根据式（5），将第k次计算的密度指标δ_k _max的训练样本点 x_k _max作为中心，更新k+1次样本数据的最大值密度指数。

δ_{(k + 1) i} = δ_{k} - δ_{k m a x} e x p (- \frac{‖x_{i} - {x_{k m a x}‖}^{2}}{(γ_{b} {/ 2)}^{2}}), i = 1,2, \dots, n

（5）

式中：γ_a，γ_b 由公式（6）确定。

γ_{a} = γ_{b} = \frac{1}{2} \underset{j}{m i n} [\underset{i}{m a x} (‖x_{i} - x_{j}‖)]

（6）

由式（5）得出第k+1次计算的密度指数δ_{k +1}，当

\frac{δ_{k + 1}}{δ_{0}} < σ

时，循环结束。所得到的聚类中心个数即为RBF网络基函数中心个数N。式中σ为聚类中心点的邻域半径，是约束各个粒子属于哪类聚类中心的分类归属，一般σ≥0.5^［19］。

（2）基函数计算标准差σ。广义RBF网络的基函数一般采用高斯函数^［19］，高斯函数标准差σ由式（7）确定：

σ = \frac{d_{m a x}}{\sqrt[]{2 N}}

（7）

式中：d _max是所选取的各个聚类中心点之间的最大距离。当函数有多维度时，以两点之间的范数代替；N为RBF网络隐层节点个数。

（3）PSO算法更新RBF网络中心点位置。将减法聚类算法所得到的中心点作为初始中心点位置，据式（3）式计算粒子每次运动位置。据式（1）求得的输出值Y，计算得适应度函数为式（8）：

f (x) = \frac{n}{\sum_{k = 1}^{n} (J_{k} - Y_{k})^{2}}

（8）

式中：J_k 为第k次的实测值；Y_k 为第k次的预测输出值。

以式（8）来约束式（3）的运动过程，最终求得每个中心点的位置，得到中心点X_pop （x ₁ _N，x ₂ _N，x ₃ _N，x ₄ _N ）为N的矩阵。

（4）伪逆法确定RBF函数权值。J=J（x_n ）为期望输出，假设J_ij 为第i个输入向量在第j个输出节点的期望输出值，ω_kj 为第k个隐层节点到第j个输出节点的权值，i∈（1，n），j∈（1，n），k∈（1，N）。则权值矩阵ω可用式（9）求得：

ω = G^{+} J

（9）

式中：G=｛g_ik ｝；矩阵ω=ω_kj。

（G）⁺ 伪逆矩阵，可由式（10）作奇异值分解（SVD）求取。

g_{i k} = φ (‖{X_{i} - X_{k}‖}^{2})

（10）

式中：g_ik 是第i个输入向量在第k个隐层节点处的输出值；X_i 为第i个输入向量，X_k 为第k个隐层节点输入向量。

将求解得的函数模型中心点位置X_id 、标准差σ、隐层节点个数N、函数权值ω参数代入式（2）即可得出优化模拟后的函数式。将训练数据输入初始优化函数，得出的输出值与实际值进行对比，由PSO的适应度f（x），动态地约束调节基函数中心点位置，最终得到误差最小的拟合参数，得出投药量输出矩阵 Y =Y（Y_n ）。

2 案例分析

2.1 数据选取

选取昆明某自来水厂［水库水，8 万m³/d，混凝剂PAC（聚合氯化铝）］，2018年1月-2020年7月的211组监测数据进行随机排列，确定90%（191组）的数据作为训练样本，10%（30组）的数据作为测试样本^［20］。摘取训练样本数据创建4×191的输入矩阵，X（x ₁ _n，x ₂ _n，x ₃ _n，x ₄ _n ），n=1，2，…，191，创建1×191的矩阵作为实际输出值J矩阵，J=J（x_n ），n=1，2，…，191。

浊度耗氧量 pH 原水量

X =

(\begin{matrix} X_{11} & X_{21} & X_{31} & X_{41} \\ X_{12} & X_{22} & X_{32} & X_{42} \\ ⋮ & ⋮ & ⋮ & ⋮ \\ X_{1 n} & X_{2 n} & X_{3 n} & X_{4 n} \end{matrix})

矩阵输出预测值 PAC实测投加值

Y =

(\begin{matrix} Y_{1} \\ Y_{2} \\ ⋮ \\ Y_{n} \end{matrix})

J =

(\begin{matrix} J_{1} \\ J_{2} \\ ⋮ \\ J_{n} \end{matrix})

采用荆州某水厂（水库水，3 500 m³/d，混凝剂PAC），2020年6-12月50组原水水质监测数据的60%（30组）作为训练样本，40%（20组）作为测试样本，对已建立的优化模型进行自适应性检验。

2.2 结果分析

2.2.1 运行结果

经计算，昆明某水厂的模型中网络中心点个数N为13，迭代70次收敛，RBF函数的输出权值为ω _max=53.25、ω _min=-63.30，邻域半径σ=0.58，粒子群加速常数C ₁=C ₂=1.578，将最优拟合参数代入式（2）得出优化模拟后的函数式，计算出混凝剂投加的模拟值与实际值MRE为0.056 3。荆州某水厂网络中心点个数N变为11，迭代次数在20次就发生收敛，计算得到MRE 0.043 1，MAE（平均绝对误差）0.195 4，RE _max0.171 8。如图3所示，PSO优化RBF网络模型对两个不同的水厂，预测运行结果表现力优秀，平均相对误差都在6%以下，模拟精度较高。

图3 不同水厂预测数据与实测数据运行结果对比

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2.2.2 优化模型性能分析

如图4所示，以昆明某水厂为例，单一RBF神经网络代次数在200次左右才达到收敛，而PSO优化后的RBF神经网络70次就能收敛。迭代次数明显降低，算法模型运行速率更快。

图4 迭代次数对比

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由图5可知，单一RBF神经网络预测的总体误差较大，且存在较大波动，对实际拟合能力差。而PSO优化RBF组合神经网络模型精度明显提高，它具有更好的数据拟合能力和模型的稳健性。

图5 优化后的函数与单一函数运行结果对比

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以昆明某水厂为例，由表2比较分析，PSO优化RBF神经网络相较于单一RBF神经网络，对于水厂混凝投药量预测平均相对误差降低了3.05%，最大相对误差降低了0.198 6，模拟精度更高，能很好地预测水厂投药量。

表2 优化组合的RBF与单一RBF模型运行精度对比

算法名称模型	MRE	MAE	RE _max	RE _min
PSO优化RBF神经网络	0.056 3	0.238	0.125 5	0.001 5
单一RBF神经网络	0.086 8	0.483	0.324 1	0.005 4
组合与单一网络差值	0.030 3	0.245	0.198 6	0.003 9

3 结论分析

（1）高浊度期和低浊度期数据对PSO优化RBF神经网络输出影响不大，训练参数时间顺序可不作为模型的约束条件，模型预测结果比回归方程求解输出更为精准。

（2）PSO优化RBF神经网络模型减少了对水厂每个单元的机理模拟，可直接通过模型得出投药与原水水质的映射关系，可适用于不同地理位置的水厂。

（3）粒子间的合作与竞争使模型增加对多维复杂空间的高维搜索能力，快速得出神经网络权值的最优解，故优化RBF模型比单一RBF网络具有更高的精度，其鲁棒性降低，收敛速度更快，可为模拟自来水厂投药量提供有效参考。

References

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2020-11-10	2021-08-15
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2021-09-24

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表1 自来水厂常用模拟算法精度对比

1 PSO优化RBF神经网络模型的建立

1.1 RBF神经网络结构

图1 RBF神经网络模拟水厂投药量结构

1.2 PSO优化RBF网络的程序

图2 创建RBF优化组合模型流程图

2 案例分析

2.1 数据选取

2.2 结果分析

2.2.1 运行结果

图3 不同水厂预测数据与实测数据运行结果对比

2.2.2 优化模型性能分析

图4 迭代次数对比

图5 优化后的函数与单一函数运行结果对比

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